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Cilindro


 Nota: Para outros significados, veja Cilindro (desambiguação).

Em Geometria, um cilindro é o objeto tridimensional[1] delimitado pela superfície de translação completa de um segmento de reta que se move paralelamente a si mesmo, e se apoia em uma circunferência. De maneira mais prática, o cilindro é um corpo alongado e de aspecto redondo, com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento. Ao considerar-se um prisma de base regular, e fazer o número de lados/vértices da base tender ao infinito, o prisma tenderá a um cilindro.

Índice

Elementos


Os elementos do cilindro são[2]

Classificação


Os cilindros podem ser divididos em duas categorias, referentes ao ângulo entre a sua altura e o plano da base:

E, referente à relação entre a altura e o raio da base, apenas uma categoria relevante de classificação:

Área e volume


Cilindro reto

Para um cilindro reto de raio \({\displaystyle r}\) e altura \({\displaystyle h}\), o seu volume é:

\({\displaystyle V=\pi r^{2}h}\)

A área da base é:

\({\displaystyle A_{B}=\pi r^{2}}\)

Sua área lateral é:

\({\displaystyle A_{L}=2\pi rh}\)

E sua área total é:

\({\displaystyle A_{T}=2A_{B}+A_{L}}\)

Ou seja:

\({\displaystyle A_{T}=2\pi r(h+r)}\)

Otimização


Área mínima

Dado um volume fixo, pode-se descobrir qual a razão entre a altura e o raio de um cilindro reto para que a área seja mínima. Calcular a área mínima é útil em problemas de otimização de custo de produção, que deve ser diretamente proporcional à área.

Seja um cilindro reto de raio \({\textstyle r}\), altura \({\textstyle h}\) e volume fixo \({\textstyle V}\). A condição para que a área seja mínima é \({\textstyle h=2r}\).[3]

Inicialmente, o volume é dado por:

Em seguida, a área em função de \({\textstyle r}\) e \({\textstyle V}\) é:
Perceba que a função vai para o infinito positivo tanto quando o valor de \({\textstyle r}\) vai para \({\textstyle \infty }\) quanto para \({\textstyle 0}\). Logo, deve possuir um valor mínimo. O valor mínimo da função será um ponto crítico, quando a derivada for nula:
Igualando a equação volume-raio da área mínima com a equação inicial de volume:
Logo,
Portanto, o cilindro reto de menor área dado um volume fixo é o cilindro equilátero, em que a altura é igual ao diâmetro da base. Tal otimização também é equivalente a maximizar o volume, dada uma área fixa.

Ver também


Referências


  1. Carlos Alberto Campagner. «Cilindro, cone e esfera» . UOL - Educação. Consultado em 9 de julho de 2013 
  2. a b Dolce, Osvaldo; Pompeo (2013). Fundamentos de Matemática Elementar - Geometria Espacial. 10. [S.l.]: Atual Editora. pp. 215–221. ISBN 978-8535717587 
  3. Cardia, Lynk (Novembro de 2014). Uma abordagem do ensino de geometria espacial (PDF) (Dissertação de Mestrado). p. 69. Consultado em 18 de Junho de 2020 

Ligações externas


O Commons possui imagens e outros ficheiros sobre Cilindro
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Categorias: Geometria | Sólidos geométricos




Data da informação: 16.12.2020 10:31:22 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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