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Coordenadas cilíndricas


O sistema de coordenadas cilíndricas é muito importante, ele pode ser usado para simplificar os nossos estudos sobre integração múltipla. Este sistema foi concebido a partir da definição das coordenadas polares, em segunda instância, pode-se pensar nele como uma evolução do modelo polar adaptado para o espaço tridimensional.[1]

Basicamente o sistema é composto por um subsistema polar na base de um cilindro circular, as coordenadas são: \({\displaystyle (\rho ,\phi ,z)\,\!}\)

Basicamente, a distância da origem à projeção do ponto \({\displaystyle P\,\!}\) sobre a base, que aparece como \({\displaystyle Q\,\!}\), é \({\displaystyle \rho \,\!}\), enquanto que a altura relativa do ponto à base, que aparece como \({\displaystyle {\overline {QP}}\,\!}\), podemos verificar que é \({\displaystyle z\,\!}\).[1]


Definimos um ponto no espaço através da relação polar da base do cilindro, o que nos fornece as duas primeiras ordenadas, depois adicionamos a altura do ponto em relação a base que é a terceira ordenada. O sentido de rotação do ângulo na base é o mesmo usado para coordenadas polares, o que determina o sinal do ângulo.

Podemos fazer a transformação de uma coordenada retangular em cilíndrica através das relações:

Da mesma forma, podemos definir as relações inversas, que nos dão os parâmetros de uma coordenada retangular a partir de uma coordenada cilíndrica:

Aplicação ao cálculo integral


Caso queiramos calcular o integral triplo de uma certa região, usando o sistema de coordenadas cilíndricas, é necessário, além da transformação, multiplicar a função integranda pelo Jacobiano da transformação, neste caso \({\displaystyle \rho }\).

Então:

\({\displaystyle \iiint _{Q}f(x,y,z)dxdydz=\iiint _{C}f(\rho \cos(\phi ),\rho \operatorname {sen}(\phi ),z)\rho \ d\rho d\phi dz}\)

Ver também


Referências


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Categorias: Sistemas de coordenadas




Data da informação: 03.03.2021 09:15:44 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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