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Coordenadas cilíndricas parabólicas


Em matemática, as coordenadas cilíndricas parabólicas são um sistema de coordenadas ortogonais tridimensionais que resultam da projeção do sistema de coordenadas parabólicas bidimensional na direção perpendicular a \({\displaystyle z}\). Assim, as superfícies coordenadas são cilindros parabólicos confocais. As coordenadas cilíndricas parabólicas possuem inúmeras aplicações como, por exemplo, na teoria potencial das arestas.

Índice

Definição básica


As coordenadas cilíndricas parabólicas \({\displaystyle (\sigma ,\tau ,z)}\) são definidas em termos das coordenadas cartesianas (x,y,z)  por:

\({\displaystyle x=\sigma \tau \,}\)
\({\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}\)
\({\displaystyle z=z\,}\)

As superfícies com \({\displaystyle \sigma }\) constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

\({\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}\)

com concavidade voltada para a direção \({\displaystyle +y}\), ao passo que as superfícies com \({\displaystyle \tau }\) constante formam cilindros parabólicos confocais de equações

\({\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}\)

com concavidade voltada para a direção oposta, isto é, na direção \({\displaystyle -y}\). Os focos de todos estes cilindros parabólicos estão localizados ao longo da reta definida por \({\displaystyle x=y=0}\). O raio r tem uma equação simples, a saber,

\({\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}\)

que é útil na resolução da equação de Hamilton-Jacobi em coordenadas parabólicas para o problema da forca central inversa ao quadrado da distância, da mecânica. Para mais detalhes, ver o artigo vetor de Laplace-Runge-Lenz.

Fatores de escala


Os fatores de escala para as coordenadas cilíndricas parabólicas \({\displaystyle \sigma }\) e \({\displaystyle \tau }\) são:

\({\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}\)
\({\displaystyle h_{z}=1\,}\)

O elemento infinitesimal de volume é

\({\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{z}=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}\)

e o laplaciano é igual a

\({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}\)

Outros operadores diferenciais tais como \({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }\) e \({\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }\) podem ser expressos nas coordenadas \({\displaystyle (\sigma ,\tau )}\) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais em coordenadas ortogonais.

Harmônicos cilindro parabólico


Uma vez que todas as superfícies com σ, τ and z  são conicóides, a equação de Laplace é separável em coordenadas cilíndricas parabólicas. Usando a técnica da separação de variáveis, uma solução independente para a equação de Laplace pode ser escrita como:

\({\displaystyle V=S(\sigma )\,T(\tau )\,Z(z)}\)

E a equaçao de Laplace, ao ser dividida por V , é escrita como:

\({\displaystyle {\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]+{\frac {\ddot {Z}}{Z}}=0}\)

Uma vez que a equação em Z  está separada dos outros termos, podemos escrever

\({\displaystyle {\frac {\ddot {Z}}{Z}}=-m^{2}}\)

Onde m  é constante. A solução para Z(z) é:

\({\displaystyle Z_{m}(z)=A_{1}\,e^{imz}+A_{2}\,e^{-imz}\,}\)

Substituindo \({\displaystyle -m^{2}}\) por \({\displaystyle {\ddot {Z}}/Z}\) , a equação de Laplace agora pode ser escrita como:

\({\displaystyle \left[{\frac {\ddot {S}}{S}}+{\frac {\ddot {T}}{T}}\right]=m^{2}(\sigma ^{2}+\tau ^{2})}\)

Ainda podemos separar as funções S  e T  e introduzir uma constante \({\displaystyle n^{2}}\) para obter:

\({\displaystyle {\ddot {S}}-(m^{2}\sigma ^{2}+n^{2})S=0}\)
\({\displaystyle {\ddot {T}}-(m^{2}\tau ^{2}-n^{2})T=0}\)

As soluções para essas equaçoes são as funções cilindro parabólico

\({\displaystyle S_{mn}(\sigma )=A_{3}\,y_{1}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})+A_{4}\,y_{2}(n^{2}/2m,\sigma {\sqrt {2m}})}\)
\({\displaystyle T_{mn}(\tau )=A_{5}\,y_{1}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})+A_{6}\,y_{2}(n^{2}/2m,i\tau {\sqrt {2m}})}\)

Os harmônicos cilindro parabólico para (m,n) são então o produto das soluções. A combinação reduz o número de constantes e a solução geral para a equação de Laplace pode ser escrita como:

\({\displaystyle V(\sigma ,\tau ,z)=\sum _{m,n}A_{mn}S_{mn}T_{mn}Z_{m}\,}\)

Aplicações


As aplicações clássicas das coordenadas cilíndricas parabólicas encontram-se na resolução de equações diferenciais parciais, como por exemplo a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as quais essas coordenadas permitem a utilização da técnica de separação das variáveis. Um exemplo típico seria o [[campo eletrico em torno de uma placa plana semi-infinita condutora.

Ver também


Referências


Ligações externas











Categorias: Sistemas de coordenadas




Data da informação: 17.12.2020 03:32:04 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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