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Coordenadas elípticas


As coordenadas elípticas são um sistema bidimensional de coordenadas curvilíneas ortogonais, onde as linhas coordenadas são elipses e hipérboles com os mesmos focos. Os focos \({\displaystyle F_{1}}\) e \({\displaystyle F_{2}}\) estão geralmente fixos nas posições \({\displaystyle x=-a}\) e \({\displaystyle x=+a}\), respectivamente, sobre o eixo \({\displaystyle OX}\) de um sistema cartesiano cujos eixos são eixos de simetría das linhas coordenadas hiperbólicas e elípticas.

As coordenadas elípticas cilíndricas são um sistema tridimensional obtido rotacionando o sistema anterior em torno do eixo dos focos e adicionando uma coordenada angular polar adicional.

Definição


A definição mais comum das coordenadas elípticas bidimensionais \({\displaystyle (\mu ,\nu )}\) é:

(left)

Onde:

\({\displaystyle \mu \,}\) é um número real não-negativo e
\({\displaystyle \nu \in [0,2\pi )\,}\).

No plano complexo, existe uma relação equivalente dada por:

\({\displaystyle x+\mathrm {i} y=a\cosh(\mu +i\nu )}\)

Estas definições correspondem à elipses e hipérboles. A identidade trigonométrica

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\cosh ^{2}\mu +{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\sinh ^{2}\mu =\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}\)

mostra que as curvas com \({\displaystyle \mu \,}\) constante são elipses, enquanto que a identidade trigonométrica hiperbólica

\({\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\cos ^{2}\nu -{\frac {y^{2}}{a^{2}}}\sin ^{2}\nu =\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}\)

mostra que as curvas com \({\displaystyle \nu \,}\) constante são hipérboles.

Aplicações


As aplicacões clássicas das coordenadas elípticas são a resolução de equações diferenciais parciais como a equação de Laplace ou a equação de Helmholtz, para as que as coordenadas elípticas admitam separação de variáveis. Um exemplo típico é a carga elétrica que rodeia um condutor plano de largura 2a. Ou o campo de duas cargas elétricas pontuais de mesmo sinal a uma distância 2a.










Categorias: Sistemas de coordenadas




Data da informação: 17.12.2020 05:58:46 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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