Coordenadas parabólicas
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As coordenadas parabólicas são um sistema bidimensional de coordenadas ortogonais em que as linhas coordenadas são parábolas confocais. A versão tridimensional das coordenadas parabólicas é obtida através da rotação do sistema bidimensional sobre o eixo de simetria de todas as parábolas.
As coordenadas parabólicas possuem muitas aplicações, por exemplo, no tratamento do efeito Stark e da teoria potencial das arestas.
Índice
Coordenadas parabólicas bidimensionais
AS coordenadas parabólicas bidimensionais \({\displaystyle (\sigma ,\tau )}\) são definidas pelas equações
- \({\displaystyle x=\sigma \tau \,}\)
- \({\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}\)
As curvas com \({\displaystyle \sigma }\) constante formam parábolas confocais
- \({\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}\)
voltadas para cima (ou seja, no sentido \({\displaystyle +y}\)), ao passo que as curvas com \({\displaystyle \tau }\) constante formam parábolas confocais
- \({\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}\)
voltadas para baixo (ou seja, no sentido \({\displaystyle -y}\)). Os focos de todas essas parábolas estão localizados na origem.
Fatores de escala bidimensionais
Os fatores de escala para as coordenadas parabólicas \({\displaystyle (\sigma ,\tau )}\) são iguais a
- \({\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}\)
Daí, o elemento infinitesimal de área é
- \({\displaystyle dA=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau }\)
E o laplaciano vale
- \({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)}\)
Outros operadores diferenciais tais como \({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }\)
e \({\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }\) podem ser expressos nas coordenadas (σ, τ) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais para coordenadas ortogonais.
Coordenadas parabólicas tridimensionais
As coordenadas parabólicas bidimensionais formam a base para dois conjuntos de coordenadas ortogonais tridimensionais. As coordenadas cilíndricas parabólicas são produzidas por projeção na direção \({\displaystyle z}\).
A rotação sobre o eixo de simetria das parábolas produz um conjunto de
paraboloides confocais, formando um sistema de coordenadas que também é conhecido como "coordenadas parabólicas"
- \({\displaystyle x=\sigma \tau \cos \varphi }\)
- \({\displaystyle y=\sigma \tau \sin \varphi }\)
- \({\displaystyle z={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}\)
onde as parábolas estão alinhadas com o eixo \({\displaystyle z}\), sobre o qual a rotação foi realizada. Assim, o ângulo azimutal \({\displaystyle \phi }\) é definido por
- \({\displaystyle \tan \varphi ={\frac {y}{x}}}\)
As superfícies cujo \({\displaystyle \sigma }\) é constante formam paraboloides confocais
- \({\displaystyle 2z={\frac {x^{2}+y^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}\)
Com concavidade para cima (ou seja, no sentido \({\displaystyle +z}\)), enquanto que as superfícies com \({\displaystyle \tau }\) constante formam paraboloides confocais
- \({\displaystyle 2z=-{\frac {x^{2}+y^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}\)
de concavidade para baixo (ou seja, na direção \({\displaystyle -z}\)). Os focos de todos estes paraboloides estão localizados na origem.
O tensor métrico de Riemann associado a este sistema de coordenadas é
- \({\displaystyle g_{ij}={\begin{bmatrix}\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0&0\\0&\sigma ^{2}+\tau ^{2}&0\\0&0&\sigma ^{2}\tau ^{2}\end{bmatrix}}}\)
Fatores de escala tridimensionais
Os três fatores de escala tridimensionais são:
- \({\displaystyle h_{\sigma }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}\)
- \({\displaystyle h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}\)
- \({\displaystyle h_{\varphi }=\sigma \tau \,}\)
Nota-se que os fatores de escala \({\displaystyle h_{\sigma }}\) e \({\displaystyle h_{\tau }}\) são os mesmos do caso bidimensional. O elemento infinitesimal de volume é então
- \({\displaystyle dV=h_{\sigma }h_{\tau }h_{\varphi }=\sigma \tau \left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)\,d\sigma \,d\tau \,d\varphi }\)
E o laplaciano é dado por
- \({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left[{\frac {1}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left(\sigma {\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {1}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left(\tau {\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)\right]+{\frac {1}{\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \varphi ^{2}}}}\)
Outros operadores diferenciais tais como \({\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }\)
e \({\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }\) podem ser expresso nas coordenadas \({\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}\) substituindo-se os fatores de escala nas fórmulas gerais encontradas em coordenadas ortogonais.
Uma formulação alternativa
A conversão de coordenadas cartesianas para as parabólicas é efetuada através da seguinte transformação:
- \({\displaystyle \xi ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}+z}},}\)
- \({\displaystyle \eta ={\sqrt {{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}-z}},}\)
- \({\displaystyle \phi =\arctan {y \over x}.}\)
O jacobiano da transformação de coordenadas dado em termos infinitesimais como sendo
- \({\displaystyle {\begin{bmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&-1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&{\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}&1+{\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}dx\\dy\\dz\end{bmatrix}}}\)
sob as condições \({\displaystyle \eta \geq 0,}\) e \({\displaystyle \xi \geq 0.}\)
Se φ = 0, então uma seção transversal é obtida; as coordenadas se limitam ao plano xz:
- \({\displaystyle \eta =-z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}},}\)
- \({\displaystyle \xi =z+{\sqrt {x^{2}+z^{2}}}.}\)
Se η=c (uma constante), então
- \({\displaystyle \left.z\right|_{\eta =c}={x^{2} \over 2c}-{c \over 2}.}\)
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria da parábola é vertical e sua concavidade é voltada para cima.
Se ξ=c então
- \({\displaystyle \left.z\right|_{\xi =c}={c \over 2}-{x^{2} \over 2c}.}\)
Esta é uma parábola com foco na origem, para qualquer valor de c. Seu eixo de simetria é vertical e sua concavidade é voltada para baixo.
Agora considere qualquer parábola η=c para cima e qualquer parábola ξ= b para baixo. É desejável encontrar sua interseção:
- \({\displaystyle {x^{2} \over 2c}-{c \over 2}={b \over 2}-{x^{2} \over 2b},}\)
rearrumando,
- \({\displaystyle {x^{2} \over 2c}+{x^{2} \over 2b}={b \over 2}+{c \over 2},}\)
evidenciando x²,
- \({\displaystyle x^{2}\left({b+c \over 2bc}\right)={b+c \over 2},}\)
cancelando os fatores comuns de ambos os lados,
- \({\displaystyle x^{2}=bc,\,}\)
tomando a raiz quadrada,
- \({\displaystyle x={\sqrt {bc}}.}\)
x é a média geométrica de b e c. A abscissa da intersecção foi encontrada. Vamos encontrar a ordenada. Substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para cima:
- \({\displaystyle z_{c}={bc \over 2c}-{c \over 2}={b-c \over 2},}\)
em seguida, substituindo o valor de x na equação da parábola voltada para baixo:
- \({\displaystyle z_{b}={b \over 2}-{bc \over 2b}={b-c \over 2}.}\)
zc = zb, com deveria ser. Logo, o ponto de intersecção é
- \({\displaystyle P:\left({\sqrt {bc}},{b-c \over 2}\right).}\)
Desenhe um par de tangentes através do ponto P, cada uma tangente a cada parábola. A reta tangente através do ponto P à parábola superior tem inclinação:
- \({\displaystyle {dz_{c} \over dx}={x \over c}={{\sqrt {bc}} \over c}={\sqrt {b \over c}}=s_{c}.}\)
A reta tangente através do ponto P à parábola inferior tem inclinação:
- \({\displaystyle {dz_{b} \over dx}=-{x \over b}={-{\sqrt {bc}} \over b}=-{\sqrt {c \over b}}=s_{b}.}\)
O produto das duas inclinações é
- \({\displaystyle s_{c}s_{b}=-{\sqrt {b \over c}}{\sqrt {c \over b}}=-1.}\)
O produto das inclinações é “uma inclinação negativa”, pois as retas são perpendiculares. Isto é verdade para qualquer par de parábolas com concavidades em direções opostas.
Assim, um par de parábolas intercepta-se em dois pontos, mas quando φ é zero, ele realmente limita as outras coordenadas ξ e η a se moverem no semiplano com x>0, pois x<0 corresponde a φ = π.
Desta forma, um par de coordenadas ξ e η especificam um único ponto no semiplano. Então, fazendo φ entre 0 e 2π, o semiplano gira com o ponto (em torno do eixo z, que é a dobradiça): as parábolas formam paraboloides. Um par de paraboloides opostos formam um círculo, e um valor de φ especifica um semiplano que corta o círculo de intersecção em um único ponto. As coordenadas cartesianas dos pontos são [Menzel, p. 139]:
- \({\displaystyle x={\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi ,}\)
- \({\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi ,}\)
- \({\displaystyle z={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\xi -\eta ).}\)
- \({\displaystyle {\begin{vmatrix}dx\\dy\\dz\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\cos \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\cos \phi &-{\sqrt {\xi \eta }}\sin \phi \\{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\xi }{\eta }}}\sin \phi &{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\eta }{\xi }}}\sin \phi &{\sqrt {\xi \eta }}\cos \phi \\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0\end{vmatrix}}\cdot {\begin{vmatrix}d\eta \\d\xi \\d\phi \end{vmatrix}}}\)
Ver também
- Coordenadas ortogonais
- Sistemas de coordenadas ortogonais bidimensionais:
- Sistemas de coordenadas ortogonais tridimensionais:
Referências
- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 660 páginas. ISBN [[Special:BookSources/0-07-043316-X, LCCN 52-11515 |0-07-043316-X, <span class="noprint">[[Library of Congress Control Number|LCCN]] [http://lccn.loc.gov/52011515 52-11515]</span>]]
- Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 185–186. LCCN 55-10911
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 180 páginas. LCCN 59-14456 , ASIN B0000CKZX7
- Sauer R, Szabó I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 96 páginas. LCCN 67-25285
- Zwillinger D (1992). Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 114 páginas. ISBN 0-86720-293-9 Same as Morse & Feshbach (1953), substituting uk for ξk.
- Moon P, Spencer DE (1988). «Parabolic Coordinates (μ, ν, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd, 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. pp. 34–36 (Table 1.08). ISBN 978-0387184302
Ligações externas
