Coordenadas toroidais - pt.LinkFang.org

Coordenadas toroidais


Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos \({\displaystyle F_{1}}\) e \({\displaystyle F_{2}}\) em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio \({\displaystyle a}\) no plano \({\displaystyle xy}\) plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo \({\displaystyle z}\) é o eixo de rotação.

Índice

Definição


A definição mais comum das coordenadas toroidais \({\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}\) é

\({\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }\)
\({\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }\)
\({\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)

onde a coordenada \({\displaystyle \sigma }\) de um ponto \({\displaystyle P}\) é igual ao ângulo \({\displaystyle F_{1}PF_{2}}\) e a coordenada \({\displaystyle \tau }\) é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias \({\displaystyle d_{1}}\) e \({\displaystyle d_{2}}\)

\({\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}\)

Transformação inversa

As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula

\({\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}\)

O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por

\({\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}\)

e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por

\({\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}\)
\({\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}\)

A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.

\({\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}\)

Fatores de escalas

Os fatores de escala para as coordenadas toroidais \({\displaystyle \sigma }\) e \({\displaystyle \tau }\) são

\({\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)

enquanto o fator de escala azimutal é

\({\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)

Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por

\({\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }\)

e o laplaciano é toma a forma

\({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}\)

Referências


Bibliografia


Ligações externas











Categorias: Sistemas de coordenadas




Data da informação: 16.12.2020 08:46:53 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

Mudanças: Todas as imagens e a maioria dos elementos de design relacionados a essas foram removidos. Alguns ícones foram substituídos por FontAwesome-Icons. Alguns modelos foram removidos (como "o artigo precisa de expansão) ou atribuídos (como" notas de rodapé "). As classes CSS foram removidas ou harmonizadas.
Os links específicos da Wikipedia que não levam a um artigo ou categoria (como "Redlinks", "links para a página de edição", "links para portais") foram removidos. Todo link externo possui um FontAwesome-Icon adicional. Além de algumas pequenas mudanças de design, foram removidos os contêineres de mídia, mapas, caixas de navegação, versões faladas e microformatos geográficos.

Observe: Como o conteúdo fornecido é retirado automaticamente da Wikipedia no momento especificado, uma verificação manual foi e não é possível. Portanto, o LinkFang.org não garante a precisão e a atualidade do conteúdo adquirido. Se houver uma informação incorreta no momento ou com uma exibição imprecisa, sinta-se à vontade para Contate-Nos: email.
Veja também: Cunho & Política de Privacidade.