Coordenadas toroidais
Coordenadas toroidais são um sistema de coordenadas ortogonais, tridimensional que é gerado pela rotação do sistema de coordenadas bipolares sobre um eixo que separa seus dois focos. Assim, os dois focos \({\displaystyle F_{1}}\) e \({\displaystyle F_{2}}\) em coordenadas bipolares se tornam um anel de raio \({\displaystyle a}\) no plano \({\displaystyle xy}\) plane do sistema de coordenadas toroidais; o eixo \({\displaystyle z}\) é o eixo de rotação.
Índice
Definição
A definição mais comum das coordenadas toroidais \({\displaystyle (\sigma ,\tau ,\phi )}\) é
- \({\displaystyle x=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\cos \phi }\)
- \({\displaystyle y=a\ {\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}\sin \phi }\)
- \({\displaystyle z=a\ {\frac {\sin \sigma }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)
onde a coordenada \({\displaystyle \sigma }\) de um ponto \({\displaystyle P}\) é igual ao ângulo \({\displaystyle F_{1}PF_{2}}\) e a coordenada \({\displaystyle \tau }\) é igual ao logaritmo natural da razão das distâncias \({\displaystyle d_{1}}\) e \({\displaystyle d_{2}}\)
- \({\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.}\)
Transformação inversa
As coordenadas (σ, τ, φ) podem ser calculadas a partir das coordenadas cartesianas (x, y, z) como segue. O ângulo azimutal φ é dado pela fórmula
- \({\displaystyle \tan \phi ={\frac {y}{x}}}\)
O raio cilíndrico ρ do ponto P é dado por
- \({\displaystyle \rho ^{2}=x^{2}+y^{2}}\)
e sua distância ao foco no plano definido por φ é dado por
- \({\displaystyle d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}}\)
- \({\displaystyle d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}}\)
A coordenada τ é igual ao logaritmo natural das distâncias focais.
- \({\displaystyle \tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}}\)
Fatores de escalas
Os fatores de escala para as coordenadas toroidais \({\displaystyle \sigma }\) e \({\displaystyle \tau }\) são
- \({\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)
enquanto o fator de escala azimutal é
- \({\displaystyle h_{\phi }={\frac {a\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}}\)
Assim, um elemento infinitesimal de volume, nessas coordenadas, é dado por
- \({\displaystyle dV={\frac {a^{3}\sinh \tau }{\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}}d\sigma d\tau d\phi }\)
e o laplaciano é toma a forma
- \({\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{3}}{a^{2}\sinh \tau }}\left[\sinh \tau {\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left({\frac {1}{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right)+{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left({\frac {\sinh \tau }{\cosh \tau -\cos \sigma }}{\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right)+{\frac {1}{\sinh \tau \left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}\right]}\)
Referências
Bibliografia
- Morse PM, Feshbach H (1953). Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. p. 666
- Korn GA, Korn TM (1961). Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. p. 182. LCCN 59-14456
- Margenau H, Murphy GM (1956). The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. pp. 190–192. LCCN 55-10911
- Moon PH, Spencer DE (1988). «Toroidal Coordinates (η, θ, ψ)». Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions 2nd, 3rd revised printing ed. New York: Springer Verlag. pp. 112–115 (Section IV, E4Ry). ISBN 0-387-02732-7
Ligações externas
