Elipsoide


Em matemática, um elipsoide (pré-AO 1990: elipsóide) é uma superfície cuja equação num sistema de coordenadas cartesianas x-y-z é

\({\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1}\)

onde a, b e c são números reais positivos que determinam as dimensões e forma do elipsoide. Se dois dos números são iguais, o elipsoide é um esferoide; se os três forem iguais, trata-se de uma esfera.

Supondo a ≥ b ≥ c, então:


Os esferoides resultam da rotação de uma elipse em torno de um dos seus eixos.

Índice

Volume


O volume de um elipsoide é dado por[1]:

\({\displaystyle {\frac {4}{3}}\pi abc}\)

Área da superfície


A área da superfície tem uma fórmula mais complexa, dada por:

\({\displaystyle 2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right)}\)

em que

\({\displaystyle m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}}}\)
\({\displaystyle \theta =\arcsin {\left(e\right)}}\)
\({\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}\)

e \({\displaystyle F(\theta ,m)}\) e \({\displaystyle E(\theta ,m)}\) são os integrais elípticos incompletos do segundo e terceiro tipos.

Fórmulas aproximadas:

Elipsoide plano: \({\displaystyle =2\pi \left(ab\right)}\)
Se \({\displaystyle b=c}\): \({\displaystyle \approx 2\pi \left(c^{2}+ac{\frac {\arcsin {\left(e\right)}}{e}}\right)}\)
Se \({\displaystyle a=b}\): \({\displaystyle \approx 2\pi \left(a^{2}+c^{2}{\frac {\operatorname {arctanh} {\left(e\right)}}{e}}\right)}\)
Se o elipsoide é escaleno: \({\displaystyle \approx 4\pi \left({\frac {a^{p}b^{p}+a^{p}c^{p}+b^{p}c^{p}}{3}}\right)^{1/p}}\)

onde p ≈ 1.6075 resulta num erro relativo máximo de cerca de 1.061% (fórmula de Knud Thomsen); um valor de p = 8/5 = 1.6 resulta bem para praticamente todos os elipsoides esferoides, com erro relativo máximo de 1.178% (fórmula de David W. Cantrell).

Transformações lineares


Ao aplicar uma transformação linear invertível a uma esfera, obtém-se um elipsoide

A intersecção de um elipsoide com um plano é um conjunto vazio, um ponto ou uma elipse.

Aplicação em cartografia


Nas ciências cartográficas, os elipsoides são utilizados como aproximação da forma irregular da Terra, já que representam o achatamento nos pólos, ao contrário das esferas. As projecções cartográficas têm como domínio coordenadas elipsoidais.

Ver também


Ligações externas


Referências


  1. F. W. J. Olver, D. W. Lozier, R. F. Boisvert, and C. W. Clark, (editores), 2010, NIST Handbook of Mathematical Functions (Cambridge University Press)









Categorias: Quádricas | Cartografia | Geodésia | Sólidos geométricos




Data da informação: 16.12.2020 10:38:11 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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