Equação de Laplace

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Equação de Laplace, em matemática, é uma equação diferencial parcial cujo nome honra seu criador, Pierre Simon Laplace. Trata-se de uma equação diferencial elíptica de alta relevância, pois é descritora modelar de comportamentos em vários campos da ciência, como, por exemplo, a astronomia, o eletromagnetismo, a mecânica dos fluidos, formulando-lhes as funções potencial gravitacional, elétrica, fluídica, entre outras aplicações. Com efeito, a teoria geral de soluções para a equação de Laplace é conhecida como teoria do potencial.

Índice

• 1 Definição
  • 1.1 Definição em \({\textstyle \mathbb {R} ^{2}}\)
  • 1.2 Definição em \({\textstyle \mathbb {R} ^{3}}\)
• 2 Solução fundamental
• 3 Condições de contorno
  • 3.1 Problema de Dirichlet
    • 3.1.1 Unicidade
    • 3.1.2 Representação da Solução
      • 3.1.2.1 Fórmula de Poisson para a bola
  • 3.2 Problema de Neumann
• 4 Referências
• 5 Ver também

Definição

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Em um conjunto aberto \({\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}\), a equação de Laplace é definida por:^[1]

\({\displaystyle \Delta f=0}\)

onde, \({\textstyle \Delta }\) denota o operador de Laplace (ou, laplaciano):

\({\displaystyle \Delta f:=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}^{2}}}}\)

Aqui, a incógnita \({\textstyle f}\) é uma função de \({\textstyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}\) em \({\textstyle \mathbb {R} .}\) Uma tal função \({\textstyle f}\) é dita ser harmônica, se é solução da equação de Laplace e é duas vezes continuamente diferenciável, i.e. \({\textstyle \Delta f=0}\) e \({\textstyle f\in C^{2}(U,~\mathbb {R} )}\). Em muitos textos, o operador laplaciano é denotado por \({\textstyle \nabla ^{2}}\). Esta notação é motivada pelo fato de que \({\textstyle \Delta =\nabla \cdot \nabla }\), onde \({\textstyle \nabla }\) denota o gradiente.

Definição em \({\textstyle \mathbb {R} ^{2}}\)

Em duas dimensões, i.e. no espaço euclidiano \({\textstyle \mathbb {R} ^{2}}\), a equação de Laplace toma a forma^[2] (em coordenadas cartesianas):

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=0}\)

Em coordenadas polares \({\textstyle (r,~\theta )}\), a equação torna-se:

\({\displaystyle {\frac {\partial ^{2}g}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial g}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial \theta ^{2}}}=0}\)

Para obter esta equação faz-se as mudanças de variáveis \({\textstyle x=r{\text{cos }}\theta }\), \({\textstyle y=r{\text{sen }}\theta }\) e \({\textstyle g(r,\theta )=f(r{\text{cos }}\theta ,r{\text{sen }}\theta )}\).

Definição em \({\textstyle \mathbb {R} ^{3}}\)

Em três dimensões, o problema consiste em determinar funções reais \({\textstyle f}\) duplamente diferenciáveis, de variáveis reais \({\textstyle x}\), \({\textstyle y}\) e \({\textstyle z}\), tais que:

- em coordenadas cartesianas

\({\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0.}\)

- em coordenadas cilíndricas,

\({\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}=0}\)

- em coordenadas esféricas,

\({\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \varphi }{\partial \over \partial \varphi }\left(\sin \varphi {\partial f \over \partial \varphi }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\varphi }{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}=0}\)

Solução fundamental

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A função \({\textstyle \Phi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to \mathbb {R} }\) definida por:

\({\displaystyle \Phi (x)=\left\{{\begin{array}{rr}-{\frac {1}{2\pi }}\ln |x|&,n=2\\{\frac {1}{n(n-2)\alpha (n)}}{\frac {1}{|x|^{n-2}}}&,n\geq 3\end{array}}\right.}\)

é chamada de solução fundamental da equação de Laplace.^[1] Aqui, \({\textstyle \alpha (n)}\) denota o volume da bola unitária em \({\textstyle \mathbb {R} ^{n}}\). Verifica-se, por substituição direta, que \({\textstyle \Delta \Phi =0}\) em \({\textstyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}}\).

Condições de contorno

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A equação de Laplace deve ser complementada com condições de contorno.

Problema de Dirichlet

Quando como condição de contorno é especificado o valor da função sobre o contorno \({\textstyle \partial D}\) do domínio \({\textstyle D}\), esta é denominada condição de contorno de Dirichlet:

\({\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \varphi &=&0,\quad &x\in D\\\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}}\).

Unicidade

Como consequência do princípio do máximo forte para funções harmônicas, mostra-se que se \({\textstyle D}\) é conexo, \({\textstyle \varphi \in C^{2}(D)\cap C({\bar {D}})}\) e \({\textstyle g\in C(\partial D)}\) é uma função não-negativa (não-positiva), então \({\textstyle \varphi }\) é não-negativa (não-positiva) em \({\textstyle D}\). Como consequência, existe no máximo uma solução para o problema de Dirichlet sobre tais hipóteses.^[1]

Observamos que a unicidade de solução para o problema de Dirichlet pode ser garantida mesmo sem a hipótese de conexidade sobre \({\textstyle D}\). Para tanto, veja condição de contorno de Dirichlet para equação de Poisson.

Representação da Solução

Se \({\textstyle u\in C^{2}({\bar {D}})}\) é solução do problema de Dirichlet acima, então:^[1]

\({\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial D}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)}\)

onde, \({\textstyle \nu }\) é a normal unitária exterior a \({\textstyle \partial D}\) e \({\textstyle \partial G(x,y)/\partial \nu }\) é a derivada normal da função de Green:

\({\displaystyle G(x,y)=\Phi (y-x)-\phi ^{x}(y),\quad \forall x,y\in D,~x\neq y.}\)

Aqui, \({\textstyle \Phi }\) é a solução fundamental (veja acima) e, para cada \({\textstyle x}\), \({\textstyle \phi ^{x}=\phi ^{x}(y)}\) é solução de:

\({\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\Delta \phi ^{x}&=&0,\quad &x\in D\\\phi ^{x}&=&\Phi (y-x),&x\in \partial D\end{array}}}\)

Fórmula de Poisson para a bola

A fórmula de representação acima depende da função de Green \({\textstyle G(x,y)}\). Em alguns casos esta função é conhecida. Se \({\textstyle D=B(0,r)=\{x:~\|x\|<r\}}\), então:^[1]

\({\displaystyle G(x,y)={\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}{\frac {1}{\|x-y\|^{n}}}}\)

a qual é conhecida como núcleo de Poisson para a bola \({\textstyle B(0,r)}\). De fato, podemos mostrar que se \({\textstyle g\in C(\partial B(0,r))}\), então:^[1]

\({\displaystyle \varphi (x)=-\int _{\partial B(0,r)}g(y){\frac {\partial G(x,y)}{\partial \nu }}(x,y)\,dS(y)=-{\frac {r^{2}-\|x\|^{2}}{n\alpha (n)r}}\int _{\partial B(0,r)}{\frac {g(y)}{\|x-y\|^{n}}}dS(y),\quad \forall x\in B(0,r)}\)

é solução do problema de Dirichlet no sentido que \({\textstyle \Delta \varphi =0}\) e:

\({\displaystyle \lim _{\begin{array}{cc}x\to y\\x\in B(0,r)\end{array}}\varphi (x)=g(y),\quad \forall y\in \partial B(0,r).}\)

Problema de Neumann

Quando como condição de contorno é especificado a derivada normal função incógnita sobre o contorno \({\textstyle \partial D}\) do domínio \({\textstyle D}\), esta é denominada condição de contorno de Neumann:

Neste caso o valor da derivada normal da função é especificado sobre o contorno:

\({\displaystyle {\begin{array}{rclcl}\triangle \varphi &=&0,\quad &x\in D\\{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi &=&g,&x\in \partial D\end{array}}.}\)

Uma condição de existência pode ser encontrada integrando a equação em todo o domínio \({\textstyle D}\) e aplicando a primeira identidade de Green:

\({\displaystyle 0=\int _{D}0dx=\int _{D}\triangle \varphi dx=\int _{\partial D}{\frac {\partial }{\partial \eta }}\varphi dS(x)=\int _{\partial D}gdS(x)}\)

Referências

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Ver também

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• Equação de Poisson
• Função harmônica

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