Teorema de Noether

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O teorema de Noether é um resultado da teoria de sistemas dinâmicos. A primeira versão do teorema foi demonstrada em 1918^[1] por Emmy Noether.

Ela provou que toda grandeza física conservativa corresponde a um grupo contínuo de simetrias das equações. Simetria aqui é entendida como uma transformação matemática que deixa as equações inalteradas em sua essência, sendo que todas as simetrias possíveis formam um grupo (no sentido matemático do termo). Um grupo contínuo é um grupo de simetrias definidas por um número que pertence ao conjunto dos Reais.

O enunciado do teorema do ponto de vista matemático diz que para cada grupo uniparamétrico de difeomorfismos de um sistema dinâmico Lagrangeano existe uma constante do movimento.^[2] Em mais detalhes, em um sistema de equações diferenciais ordinárias nas funções no tempo \({\displaystyle t}\), \({\displaystyle x(t),y(t),\ldots }\), dada uma solução das equações \({\displaystyle x_{1}(t),y_{1}(t),\ldots }\), e uma operação nesta solução que dependa de um parâmetro real e que seja contínua \({\displaystyle x_{1}(t)\rightarrow x_{2}(t),y_{1}(t)\rightarrow y_{2}(t),\ldots }\) de tal forma que \({\displaystyle x_{2}(t),y_{2}(t),\ldots }\) é também solução do mesmo sistema, então existe uma constante independente do tempo associada a esta transformação.

Por exemplo, se a equação em questão for a segunda lei de Newton e a transformação for a rotação dos eixos espaciais \({\displaystyle x}\), \({\displaystyle y}\) ou \({\displaystyle z}\) na direção do eixo de simetria \({\displaystyle z}\) por um ângulo (real) \({\displaystyle \theta }\), que formam um contínuo, então a grandeza física conservativa associada é o momento angular (na direção do eixo \({\displaystyle z}\)). Outros dois exemplos importantes são: a família de translações numa determinada direção do espaço leva a conservação da quantidade de movimento, e a simetria temporal implica a conservação da energia.

Informalmente, podemos apresentar o teorema de Noether dizendo que: "Para cada família de simetrias corresponde uma lei de conservação".^[3]

A versão quântica do teorema está associada a diferentes resultados, como o chamado teorema de Wigner e o teorema de Stone.^[4]

Referências

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