Variograma cruzado

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Variograma cruzado é um tipo de variograma que pretende estudar o variograma conjunto de duas variáveis. É necessário para fazer operações de co-krigagem (note-se que não é o mesmo que krigagem co-localizada). À semelhança do variograma experimental é feito em recurso a vários critérios dentre eles a distância e orientação.

Índice

• 1 Definição
• 2 Covariância cruzada
• 3 Correlograma cruzado
• 4 Discussão
• 5 Ver também
• 6 Referências

Definição

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O variograma é calculado em recurso à seguinte fórmula:

\({\displaystyle 2\gamma (x,x+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{N(h)}[Z_{A}(x)-Z_{A}(x+h)]^{2}\quad }\)

Mas esta só considera uma variável dado que \({\displaystyle Z_{A}}\) é uma única população. Assim para calcularmos o variograma cruzado, \({\displaystyle 2\gamma _{AB}(x,x+h)}\), com uma segunda população, \({\displaystyle Z_{B}}\), precisamos de aplicar a seguinte fórmula:

\({\displaystyle 2\gamma _{AB}(x,x+h)={\frac {1}{N(h)}}\sum _{N(h)}[Z_{A}(x)-Z_{A}(x+h)][Z_{B}(x)-Z_{B}(x+h)]\quad }\)

Garantindo que \({\displaystyle Z_{A}(x)}\) e \({\displaystyle Z_{B}(x)}\) se encontram na mesma localização pois trata-se de uma operação de correlação espacial. Note-se que segundo Isaaks e Srivastava (1989)^[1] a relação de Cauchy-Schwartz:

\({\displaystyle |\gamma _{AB}|={\sqrt {\gamma _{A}\gamma _{B}}}\quad }\)

deve ser garantida todas as distâncias \({\displaystyle h}\) consideradas num processo de co-krigagem.

Covariância cruzada

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A relação entre variograma e covariância cruzada é dada por (Soares, 2006)^[2]:

\({\displaystyle \gamma _{AB}(h)=C_{ij}(0)-0.5[C_{ij}(h)+C_{ij}(-h)]\quad }\)

sendo que ao contrário do variograma em que \({\displaystyle \gamma _{AB}(h)=\gamma _{BA}}\), \({\displaystyle C_{AB}}\) pode não ser igual a \({\displaystyle C_{BA}}\) implicando que esta não é um função simétrica em relação ao \({\displaystyle h}\). De um ponto de vista de descrição da estrutura espacial, as duas funções não são equivalentes: a não-simetria da covariância cruzada torna-a apta a retratar comportamentos espaciais que escapam ao variograma.

Na prática, na modelação da covariância cruzada, esta assimetria é desconsiderada por duas razões ^[3]:

• Raramente a quantidade de dados disponíveis permitem perceber que fenómeno físico origina a assimetria.
• A modelação de casos em que a covariância cruzada é assimétrica é extremamente complexa.

Assim os instrumentos geoestatísticos usados para quantificar a continuidade espacial de um sistema com mais de uma variável são, normalmente, os variogramas cruzados e as covariâncias cruzadas simétricas.

Correlograma cruzado

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O correlograma cruzado é dependente das covariâncias cruzadas e é dado pela fórmula:

\({\displaystyle \rho _{AB}(h)={\frac {C_{ij}(h)}{\sqrt {C_{i}i(0)C_{j}j(0)}}}\quad }\)

Discussão

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À semelhança do seu homólogo variograma experimental também é possível fazer covariâncias cruzadas e correlogramas cruzados.

Ver também

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• Variograma
• Variograma de indicatriz
• Função de covariância
• Função correlograma

Referências

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