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Variograma de indicatriz


O variograma de indicatriz (variograma por indicação) é um tipo de variograma experimental especifico para casos em que a variável de estudo é discreta apoiando-se no formalismo da indicatriz (também conhecido por função indicadora) o que implica que cada uma das amostras de uma amostragem ou pertence a um sub-conjunto (e por isso probabilidade 1) ou não (probabilidade 0). Para efeitos de utilização em métodos de geoestatística, como é caso da krigagem da indicatriz, é necessário fazer um variograma de indicatriz para cada sub-conjunto considerado na amostragem.


Índice

Formalismo da indicatriz


Se a variável \({\displaystyle Z(x)}\) for convertida para uma variável indicatriz \({\displaystyle I_{A}}\) temos que[1]:

\({\displaystyle \mathbf {I} _{A}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\notin A.\end{matrix}}\right.=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ x\in A,\\0&{\mbox{se}}\ x\in A^{c}=X-A.\end{matrix}}\right.}\)

No caso de transformação de variáveis contínuas (corrente em casos de geoestatística) o que, habitualmente, se faz é a utilização de valores de corte para discretização e posterior conversão em classes de indicatriz. Assim, considerando a variável \({\displaystyle I_{z}}\) para um valor de corte \({\displaystyle z}\) correspondente à amostra \({\displaystyle Z(x)}\) na população \({\displaystyle Z}\),o formalismo poderia ser exposto da seguinte maneira[2]:

\({\displaystyle \mathbf {I} _{z}(x)=\left\{{\begin{matrix}1&{\mbox{se}}\ Z(x)<z\\0&{\mbox{se}}\ Z(x)\geq z\end{matrix}}\right.}\)

Isto implica que para cada amostra de uma amostragem há um vector subjacente indicando a probabilidade (1 ou 0) de a mesma amostra pertence ou não aos vários subconjuntos definidos pelo utilizador. Ilustrando um caso hipotético, se um conjunto de mínimo 10 e máximo 90 com 3 sub-conjuntos cujos valores de corte seriam 30,60,90 (\({\displaystyle I_{3}0=}\)[0,30], \({\displaystyle I_{6}0=}\)[30,60], \({\displaystyle I_{9}0=}\)[60,90]) então uma amostra de valor 33 teria associado o seguinte vector:

\({\displaystyle [Prob(33\in I_{30}),Prob(33\in I_{60}),Prob(33\in I_{90})]=[0,1,0]\quad }\)

Em que o primeiro termo do vector para cada amostra estaria sempre associado à classe \({\displaystyle I_{30}}\), o segundo a \({\displaystyle I_{60}}\) e terceiro a \({\displaystyle I_{90}}\) .


Definição


Para fazer um variograma de indicatriz basta seguir o mesmo processo do variograma experimental mas neste caso usando valores de indicatriz (presentes no vector associado a cada amostra). Para serem usados em métodos como a krigagem de indicatriz deve ser feito um variograma para cada uma das classes usando a seguinte fórmula:

\({\displaystyle \gamma _{I_{z}}(x,x+h)={\frac {1}{2N(h)}}\sum _{x=1}^{N(h)}[I_{z}(x)-I_{z}(x+h)]^{2}\quad }\)

A covariância estacionária de indicatriz é dada por (Soares,2006):

\({\displaystyle C_{I_{z}}(x,x+h)={\frac {1}{2N(h)}}\sum _{x=1}^{N(h)}[I_{z}(x)I_{z}(x+h)]-m_{i}^{2}\quad }\)

na qual \({\displaystyle m_{i}^{2}}\) é correspondente ao valor esperado de \({\displaystyle I_{z}}\), melhor dizendo a probabilidade deste evento acontecer na amostragem:

\({\displaystyle m_{i}^{2}=E\{I_{z}(x)\}=Prob\{Z(x)<z\}\quad }\)

Finalmente o correlograma da indicatriz é dado por:

\({\displaystyle \rho _{I}(x,x+h)={\frac {C_{I_{z}}(x,x+h)}{\sigma _{I}^{2}(z)}}\quad }\)

onde:

\({\displaystyle \sigma _{I}^{2}(z)=E[I_{z}(x)-m_{I}(z)]^{2}=m_{I}(z)[1-m_{I}(z)]\quad }\)


Discussão


Fazer um variograma da indicatriz em métodos de geoestatística implica fazer um para cada sub-conjunto considerado, melhor dizendo um variograma para cada um dos termos do vector associado às amostras como se vê na secção Formalismos da indicatriz.


Ver também



Referências


  1. CASELLA, George e BERGER, Roger L. Inferência estatística - tradução da 2ª edição norte americana. São Paulo, Centage Learning, 2010. ISBN Original: 10:0-495-3918-5. Página 102.
  2. Soares, A. (2006), "Geoestatística para as ciências da Terra e do Ambiente" (2006), Lisboa: Instituto Superior Técnico









Categorias: Geoestatística




Data da informação: 17.12.2020 03:24:48 CET

Fonte: Wikipedia (Autores [História])    Licença: CC-by-sa-3.0

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